Question

11．在多項式（3$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）⁴（$\sqrt{x}$+2x）⁵的展開式中，含x²項的系數為（　�。�

• A． -32
• B． 32
• C． -96
• D． 96

Answer 1

分析 化（3$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）⁴（$\sqrt{x}$+2x）⁵=${（3\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{4}$•${x}^{\frac{5}{2}}$•${（1+2\sqrt{x}）}^{5}$；
在${（3\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{4}$展開式中，利用通項公式求出展開式各項，得出符合條件的項，
即可求出多項式展開式中含x²項的系數．

解答 解：（3$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）⁴（$\sqrt{x}$+2x）⁵=${（3\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{4}$•${x}^{\frac{5}{2}}$•${（1+2\sqrt{x}）}^{5}$；
在${（3\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{4}$展開式中，通項公式為
T_r+1=${C}_{4}^{r}$•${（3\sqrt{x}）}^{4-r}$•${（-\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{r}$=3^4-r•（-2）^r•${C}_{4}^{r}$•${x}^{2-\frac{5r}{6}}$；
令r=0，其展開式中是x²，不合題意；
令r=1，其展開式中是${x}^{\frac{1}{6}}$，不合題意；
令r=2，其展開式中是${x}^{\frac{1}{3}}$，不合題意；
令r=3，其展開式中是${x}^{-\frac{1}{2}}$，符合題意，
且含x²項的系數為3•（-2）³•${C}_{4}^{3}$=-96；
令r=4，其展開式中是${x}^{-\frac{4}{3}}$，不合題意；
綜上，多項式（3$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）⁴（$\sqrt{x}$+2x）⁵的展開式中，含x²項的系數為-96．
故選：C．

點評 本題考查了二項式展開式通項公式的應用問題，是基礎題．