Question

10．已知函數$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}a{x^2}+（a-e）x$（x≥0）（e=2.71828…為自然對數的底數）
（1）當a=0時，求f（x）的最小值；
（2）當1＜a＜e時，求f（x）單調區間的個數．

Answer 1

分析 （1）化簡函數f（x）=e^x-exf'（x）=e^x-e，通過當0≤x＜1時，當x＞1時，判斷函數的單調性求出函數的極值；
（2）求出導函數f'（x）=e^x-ax+a-e．構造g（x）=f'（x）=e^x-ax+a-e，求出導數g'（x）=e^x-a．判斷單調性求出最小值，設h（x）=2x-xlnx-e（x＞1），求出h'（x）=1-lnx．判斷單調性求出最值，通過e-1＜a＜e，求解即可．

解答 解：（1）∵$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}a{x^2}+（a-e）x$（x≥0），a=0∴f（x）=e^x-exf'（x）=e^x-e．…（1分）
∴當0≤x＜1時，f'（x）＜0，f（x）是減函數．
當x＞1時，f'（x）＞0，f（x）是增函數．          …（3分）
又f'（1）=0，∴f（x）的最小值f（x）_min=f（x）_極小=f（1）=0．…（4分）
（2）∵$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}a{x^2}+（a-e）x$（x≥0），
∴f'（x）=e^x-ax+a-e．
設g（x）=f'（x）=e^x-ax+a-e，則g'（x）=e^x-a．
∵a＞1，∴g'（lna）=0，當0≤x＜lna時，g'（x）＜0，f'（x）單調遞減．
當x＞lna時，g'（x）＞0，f'（x）單調遞增．            …（6分）
∴f'（x）_min=f'（x）_極小=f'（lna）=2a-alna-e．
設h（x）=2x-xlnx-e（x＞1），則h'（x）=1-lnx．
當0＜x＜e時，h'（x）＞0，h（x）單調遞增，
當x＞e時，h'（x）＜0，h（x）單調遞減．
∴h（x）_max=h（x）_極大=h（e）=0，即a=e時，f'（x）_min取得最大值0，
所以當1＜a＜e時，f'（x）_min＜0．…（7分）
若1＜a≤e-1，則f'（0）=1+a-e≤0，f'（1）=0，
∴0≤x＜1時，f'（x）≤0，f（x）單調遞減，x＞1時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，
即函數f（x）有兩個單調區間．…（9分）
若e-1＜a＜e，則f'（0）=1+a-e＞0，∴存在x₀∈（0，lna），使得f'（x₀）=0．
又f'（1）=0∴0≤x＜x₀或x＞1時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增．
x₀＜x＜1時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．即函數f（x）有三個單調區間．      …（11分）
綜上所述，當1＜a≤e-1時，函數f（x）有兩個單調區間，當e-1＜a＜e且a≠e時，函數f（x）有三個單調區間．                         …（12分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，二次導數的求法，考查轉化思想以及計算能力．