Question

某汽車生產企業上年度生產一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價相應的提高比例為0.7x，
年銷售量也相應增加，年銷售量y關于x的函數為y=3240（-x²+2x+

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），則當x為何值時，本年度的年利潤最大？最大利潤為多少（年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量）？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：計算題,應用題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：由題意設本年度的年利潤為z萬元；則z=3240（0.9x-3）（x²-2x-

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），（0＜x＜1），求導從而確定函數的單調性，從而求函數的最大值即可．

解答： 解：由題意，本年度的年利潤為z萬元；
則z=（13+13×0.7x-（10+10x））（3240（-x²+2x+

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））
=3240（0.9x-3）（x²-2x-

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），（0＜x＜1）
z′=3240[0.9（x²-2x-

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）+（0.9x-3）（2x-2）]
=972（x-3）（9x-5）；
故z=3240（0.9x-3）（x²-2x-

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）在（0，

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）上是增函數，
在（

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，1）上是減函數，
故當x=

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時，z有最大值z=20000；
故當x為

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時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20000萬元．

點評：本題考查了函數在實際問題中的應用，同時考查了導數的綜合應用，屬于中檔題．