Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，分別在x軸與直線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x+1}）$上從左向右依次取點A_k、B_k，k=1，2，…，其中A₁是坐標原點，使△A_kB_kA_k+1都是等邊三角形，則△A₁₀B₁₀A₁₁的邊長是512．

Answer 1

分析 設直線與x軸交點坐標為P，由直線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x+1}）$的傾斜角為30⁰，又△A₁B₁A₂是等邊三角形$\sqrt{3}$，求出△A₂B₂A_3、…找出規律，就可以求出△A₁₀B₁₀A₁₁的邊長．

解答 解：∵直線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x+1}）$的傾斜角為30⁰，且直線與x軸交點坐標為P（-1，0），
又∵△A₁B₁A₂是等邊三角形，∴∠B₁A₁A₂=60⁰，B₁A₁=1，PA₂=2，
∴△A₂B₂A₃的邊長為PA₂=2，同理 B₂A₂=PA₃=4，…以此類推
B₁₀A₁₀=PA₁₀=512，∴△A₁₀B₁₀A₁₁的邊長是512，
故答案為：512．

點評 本題考查了直線的傾斜角，等邊三角形的性質，及歸納推理的能力，屬于基礎題．