Question

【題目】如圖,四樓錐中,平面平面,底面為梯形. ，且與均為正三角形. 為的中點(diǎn)為重心, 與相交于點(diǎn).

(1)求證: 平面；

(2)求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，連交于,連接.證明// ，即證平面. (2)第(2)問(wèn)，主要是利用體積變換， ,求得三棱錐的體積.

試題解析：

（1）方法一：連交于,連接.

由梯形， 且，知

又為的中點(diǎn)， 為的重心，∴

在中， ,故// .

又平面, 平面,∴ 平面.

方法二：過(guò)作交PD于N,過(guò)F作FM||AD交CD于M,連接MN,

G為△PAD的重心，

又ABCD為梯形，AB||CD,

又由所作GN||AD,FM||AD,得// ，所以GNMF為平行四邊形.

因?yàn)镚F||MN,

（2） 方法一:由平面平面， 與均為正三角形， 為的中點(diǎn)

∴， ，得平面，且

由（1）知//平面，∴

又由梯形ABCD，AB||CD，且，知

又為正三角形，得，∴，

得

∴三棱錐的體積為.

方法二: 由平面平面， 與均為正三角形， 為的中點(diǎn)

∴， ，得平面，且

由，∴

而又為正三角形，得，得.

∴，

∴三棱錐的體積為.