Question

11．著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休．”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：$\sqrt{（x-a）^{2}+（y-b）^{2}}$可以轉化為平面上點M（x，y）與點N（a，b）的距離．結合上述觀點，可得f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+4x+20}$+$\sqrt{{x}^{2}+2x+10}$的最小值為（　　）

• A． $3\sqrt{2}$
• B． $4\sqrt{2}$
• C． $5\sqrt{2}$
• D． $7\sqrt{2}$

Answer 1

分析 f（x）=$\sqrt{{（x+2）}^{2}{+（0-4）}^{2}}$+$\sqrt{{（x+1）}^{2}{+（0+3）}^{2}}$，表示平面上點M（x，0）與點N（-2，4），H（-1，-3）的距離和，利用兩點間的距離公式，即可得出結論．

解答 解：f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+4x+20}$+$\sqrt{{x}^{2}+2x+10}$
=$\sqrt{{（x+2）}^{2}{+（0-4）}^{2}}$+$\sqrt{{（x+1）}^{2}{+（0+3）}^{2}}$，
表示平面上點M（x，0）與點N（-2，4），H（-1，-3）的距離和，
連接NH，與x軸交于M（x，0），則M（-$\frac{10}{7}$，0），
∴f（x）的最小值為 $\sqrt{{（-2+1）}^{2}{+（4+3）}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
故選：C．

點評 本題考查兩點間的距離公式，考查學生分析解決問題的能力，合理轉化是正確解題的關鍵．