Question

17．已知i是虛數單位，a，b∈R，z₁=a-1+（3-a）i，z₂=b+（2b-1）i，z₁=z₂．
（1）求a，b的值；
（2）若z=m-2+（1-m）i，m∈R，求證：|z+a+bi|≥$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）由復數相等的條件列出方程組，求解即可得答案；
（2）把z和a，b的值代入|z+a+bi|，再結合復數求模以及配方法即可證得結論．

解答 （1）解：由z₁=a-1+（3-a）i，z₂=b+（2b-1）i，由z₁=z₂，
得$\left\{\begin{array}{l}{a-1=b}\\{3-a=2b-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴a=2，b=1；
（2）證明：∵z=m-2+（1-m）i，m∈R，
∴|z+a+bi|=|m-2+（1-m）i+2+i|=$|m+（2-m）i|=\sqrt{{m}^{2}+（2-m）^{2}}$
=$\sqrt{2{m}^{2}-4m+4}$=$\sqrt{2（m-1）^{2}+2}$$≥\sqrt{2}$．
當且僅當m=1時上式取等號，
∴|z+a+bi|≥$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了復數相等的條件，考查了復數模的求法以及利用配方法求最值，是基礎題．