Question

已知函數f（x）=4^x-a•2^x+1-2．
（Ⅰ）若a=1，求f（log₂3）的值；
（Ⅱ）某同學研究的值域時的過程如下，請你判斷是否正確，如果不正確，請寫出正確的過程．
f（x）=（2^x）²-2a•2^x-2=（2^x-a）²-a²-2
∴f（x）的值域為[-a²-2，+∞）．

Answer 1

考點：復合函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）若a=1，根據對數的運算法則即可求f（log₂3）的值；
（Ⅱ）利用換元法結合一元二次函數的性質即可求出函數的值域．

解答： 解：（Ⅰ）若a=1，f（x）=4^x-2^x+1-2．
則f（log₂3）=4log23-2•2log23-2=（2log23）²-2×3-2=9-6-2=1；
（Ⅱ）不正確：
f（x）=（2^x）²-2a•2^x-2=（2^x-a）²-a²-2，
令t=2^x，則t＞0，
則函數等價為y=g（t）=（t-a）²-a²-2，
若a≤0，則函數在（0，+∞）上為增函數，此時y=g（t）＞g（0）=-2，
若a＞0，則當t=a時，函數取得最小值，此時y=g（t）≥g（t）=-a²-2，
綜上當a≤0時，函數的值域為（-2，+∞），
當a＞0時，函數的值域為[-a²-2，+∞）．

點評：本題主要考查與指數函數有關的性質是運算，利用換元法結合一元二次函數的性質是解決本題的關鍵．