Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，側棱PA⊥底面ABCD，在側面PBC內，有BE⊥PC于E，且BE=

6

3

a，M、N分別為PD、AC上的點，且PM=AN．
（1）求PA的長；
（2）求證：MN∥平面PAB；
（3）試在AB上找一點F，使EF∥平面PAD；
（4）求線段MN的長的最小值．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）設出PA，利用勾股定理以及三角形的面積求解即可．
（2）過M作MR∥PA，連結NR，說明平面MNR∥平面PAB，即可得到結論．
（3）畫出圖形，過E作EG∥CD交PD于G，連接AG，在AB上取點F，使AF=EG，要證明EF∥平面PAD，只需證明FE∥AG即可；然后確定F的位置．
（4）設出PM，然后求出MR，NR，表示出MN，然后利用二次函數的最值求解最小值．

解答： 解：（1）由題意設PA=x，則：PB=

x2+a2

，AC=

2

a，PC=

x2+2a2

，在Rt△PBC中，BE•PB=BC•PB
可得：

6

3

a•

x2+2a2

=a•

x2+a2

，解得x=a．
∴PA=a．
（2）過M作MR∥PA，連結NR，由（1）可知PA=a，
M、N分別為PD、AC上的點，且PM=AN．
易證NR∥CD，可得平面MNR∥平面PAB，
⇒MN∥平面PAB；
（3）解：在平面PCD內，過E作EG∥CD交PD于G，連接AG，
在AB上取點F，使AF=EG，則F即為所求作的點．
∵EG∥CD∥AF，EG=AF，
∴四邊形FEGA為平行四邊形，
∴FE∥AG．
又AG?平面PAD，FE?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
又在Rt△BCE中，
CE=

BC2-BE2

=

3

3

a．
在Rt△PBC中，BC²=CE•CP
∴CP=

a2

3 3 a

=

3

a．又

EG

CD

=

PE

PC

，
∴EG=

PE

PC

•CD=

2

3

a，
∴AF=EG=

2

3

a．
∴點F為AB的一個三等分點．
（4）設PM=t，（0＜t＜

2

a），則AN=t，∵NR∥CD，可知
△ANR∽△ACD，∴

NR

a

=

t

2 a

，NR=

2

2

t．
同理可得MR=a-

2

2

t．
MN=

( 2 2 t)2+(a- 2 2 t)2

=

t2- 2 at+a2

，（0＜t＜

2

a），
當t=

2

2

a時，MN最小，最小值為：

2

2

a．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，涉及空間距離，以及空間距離的最值問題，考查學生的邏輯思維能力，空間想象能力以及轉化思想的應用．