Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面A₁BD與平面C₁BD所成二面角的余弦值為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  3

• C、

  3

  2

• D、

  3

  3

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：根據正方體分段性質得出∠A₁OC₁為平面A₁BD與平面C₁BD所成二面角的夾角，在△A₁OC₁中運用余弦定理求解即可．

解答： 解：取BD中的O，連接，OB，OA₁，A₁C₁，
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設棱長為1，
∴A₁C₁=

2

，OB=OA₁=

6

2

，
根據正方體的幾何性質得出BD⊥OA，BD⊥OC，BD⊥AA₁，BD⊥CC₁，
∴BD⊥面OAA₁，BD⊥平面OCC₁，OA₁?面OAA₁，OC₁?平面OCC₁，
∴BD⊥OA₁，BD⊥OC₁，
∴∠A₁OC₁為平面A₁BD與平面C₁BD所成二面角的夾角，
∴在△A₁OC₁中，cos∠A₁OC₁=

3 2 + 3 2 -2

2× 6 2 × 6 2

=

1

3

故選：B

點評：本題考查了空間幾何體的性質，空間角的求解，轉化到三角形中求解，屬于中檔題，關鍵是確定角，求角．