Question

13．已知△ABC的三邊長a，b，c成遞減的等差數列，若$B=\frac{π}{4}$，則cosA-cosC=（　　）

• A． $-\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $-\root{4}{2}$
• D． $\root{4}{2}$

Answer 1

分析 三邊a，b，c成等差數列，可得2b=a+c，利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=$\sqrt{2}$，設cosA-cosC=m，平方相加即可得出．

解答 解：∵三邊a，b，c成等差數列，
∴2b=a+c，
利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，
∴sinA+sinC=2sin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，
設cosA-cosC=m，
則平方相加可得：2-2cos（A+C）=2+m²，
∴m²=2cosB=$\sqrt{2}$，
解得m=±$\root{4}{2}$．
∵a，b，c成遞減的等差數列，
∴m=-$\root{4}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了等差數列的通項公式性質、正弦定理、同角三角函數基本關系式、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．