Question

8．在△ABC中，內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且$\frac{c}=\sqrt{2}sinC$．
（1）求B；
（2）若a=6，△ABC的面積為9，求b的長，并判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，結合范圍0＜B＜π，可得B的值．
（2）利用三角形面積公式可求c，進而利用余弦定理可求b的值，分類討論，即可判定三角形的形狀．

解答 解：（1）由$c=\sqrt{2}bsinC$，可得$\frac{c}{sinC}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}$．
根據正弦定理可得：sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由于0＜B＜π，可得：B=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，
（2）因為△ABC的面積為9=$\frac{1}{2}$acsinB，a=6，sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以$\frac{1}{2}×6c×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=9$．
解得$c=3\sqrt{2}$．
由余弦定理可知${b^2}={a^2}+{c^2}-2accosB=54-36\sqrt{2}cosB$，
由$cosB=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得b²=18或b²=90，
所以$b=3\sqrt{2}$或$b=3\sqrt{10}$．
當$b=3\sqrt{2}$時，此時$b=c=3\sqrt{2}，a=6$，△ABC為等腰直角三角形；
當$b=3\sqrt{10}$時，此時$c=3\sqrt{2}，a=6$，△ABC為鈍角三角形．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了轉化思想和分類討論思想，屬于基礎題．