Question

3．已知{a_n}，{b_n}為兩個數列，其中{a_n}是等差數列且前n項和為S_n又a₃=6，a₉=18．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）S_n，求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的通項公式列方程解出{a_n}的首項和公差，從而得出通項a_n；
（2）先計算S_n，令n=1計算b₁，再令n≥2，作差得出b_n即可．

解答 解：（1）設{a_n}的公差為d，∵a₃=6，a₉=18
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=6}\\{{a}_{1}+8d=18}\end{array}\right.$，解得a₁=2，d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）S_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}•n$=n²+n，
當n=1時，a₁b₁=-S₁=-a₁，∴b₁=-1．
當n≥2時，
∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）S_n=n（n+1）（2n-3），
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（2n-5）S_n-1=n（n-1）（2n-5），
∴a_nb_n=n（n+1）（2n-3）-n（n-1）（2n-5）=2n（3n-4），
∴b_n=$\frac{2n（3n-4）}{{a}_{n}}$=3n-4，
顯然當n=1時，上式仍成立，
∴b_n=3n-4．

點評 本題考查了等差數列的性質，數列通項的求法，屬于中檔題．