Question

12．對于實數x，將滿足“0≤y＜1且x-y為整數”的實數y稱為實數x的小數部分，用符號?x＞表示．對于實數a，無窮數列{a_n}滿足如下條件：
①a₁=?a＞； ②a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{＜\frac{1}{{a}_{n}}＞（{a}_{n}≠0）}\\{0（{a}_{n}=0）}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）若a=$\sqrt{2}$時，數列{a_n}通項公式為a_n=$\sqrt{2}$-1；
（Ⅱ）當a＞$\frac{1}{2}$時，對任意n∈N^*都有a_n=a，則a的值為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 

Answer 1

分析 （I）根據＜$\sqrt{2}$＞的定義和$\sqrt{2}$的范圍依次計算a₁，a₂，a₃，即可得出結論；
（II）根據定義可知$\frac{1}{2}＜a＜1$，依次計算a₁，a₂，列方程即可解出a的值．

解答 解：（I）∵1$＜\sqrt{2}$＜3，
∴a₁=＜$\sqrt{2}$＞=$\sqrt{2}$-1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}+1$，
∵2$＜\sqrt{2}+1＜3$，
∴a₂=＜$\sqrt{2}+1$＞=$\sqrt{2}+1-2$=$\sqrt{2}$-1，
同理可得：a₃=a₄=…=a_n=$\sqrt{2}-1$，
∴a_n=$\sqrt{2}$-1，
（II）∵a₁=＜a＞=a，∴a＜1，
又$a＞\frac{1}{2}$，∴1$＜\frac{1}{a}＜2$，
∴a₂=＜$\frac{1}{{a}_{1}}$＞=＜$\frac{1}{a}$＞=$\frac{1}{a}-1$，
∵a₂=a，
∴$\frac{1}{a}-1=a$，解得a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案為（I）${a_n}=\sqrt{2}-1$，（II）$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

點評 本題考查了對新定義的理解，數列的通項公式的計算，屬于中檔題．