Question

7．函數f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為$\frac{π}{2}$，且圖象上一個最低點為M（$\frac{2π}{3}$，-2）．
（1）求函數f（x）的解析式及單調增區間；
（2）求 當x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由最低點可求A，由已知可得周期T=π，利用周期公式可求ω，利用點$M（{\frac{2π}{3}，-2}）$在圖象上，結合范圍$φ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，可求φ，可求函數解析式，利用正弦函數的單調性可求單調遞增區間．
（2）由$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，可求范圍$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}}]$，利用正弦函數的圖象和性質可求其值域．

解答 解：（1）∵依題意，由最低點為$M（{\frac{2π}{3}，-2}）$，得A=2，
又∵周期T=π，∴ω=2．
∵由點$M（{\frac{2π}{3}，-2}）$在圖象上，
∴得$2sin（{\frac{4π}{3}+φ}）=-1$，
∴$\frac{4π}{3}+φ=-\frac{π}{2}+2kπ，k∈{Z}$，
∴$φ=-\frac{11π}{6}+2kπ$．
∵$φ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴$φ=\frac{π}{6}$，
∴$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$．
∴函數f（x）的單調區間是$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]（k∈{Z}）$．
（2）∵$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}}]$．
當$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$時，f（x）取得最大值2；
當$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$，$x=\frac{π}{2}$時，f（x）取得最小值-1，故f（x）的值域為[-1，2]．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數的圖象和性質，屬于基礎題．