Question

有同學通過研究曲線C的方程x 

1

3

+y

1

3

=1，得到如下結論，你認為正確的結論是（　　）
①x，y的取值范圍是R；②曲線C是軸對稱圖形；③曲線C與兩坐標軸圍成的圖形面積

1

2

．

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考點：曲線與方程

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：把方程變形可得x，y的取值范圍；在方程中x，y互換可判對稱性；由定積分求面積判斷③．

解答： 解：∵曲線C的方程x 

1

3

+y

1

3

=1，
∴y

1

3

=1-x

1

3

，則y=(1-x

1

3

)3=1-3x

1

3

+3x

2

3

-x，
x的范圍為R，對應的y的范圍為R，命題①正確；
在x 

1

3

+y

1

3

=1中，取y=x，x=y方程不變，
∴曲線C的圖象關于直線y=x對稱，命題②正確；
∵x=0時y=1，y=0時x=1，
∴曲線C的圖象與y軸交于（0，1），與x軸交于（1，0），
則曲線C與兩坐標軸圍成的圖形面積：
S=

∫

1 0

(1-3x

1

3

+3x

2

3

-x)dx=(x-

9

4

x

4

3

+

9

5

x

5

3

-

1

2

x2)

|

1 0

=

1

20

，命題③錯誤．
故選：A．

點評：本題考查了曲線與方程，考查了函數的對稱性，訓練了利用定積分求曲邊梯形的面積，是中檔題．