Question

設(shè)定義域（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)，對任意的x∈（0，+∞），都有f（f（x）-log₂x）=3，若x₀是方程f（x）-f′（x）=2的一個解，則x₀∈

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由條件可得，必存在唯一的正實數(shù)a，滿足f（x）-log₂x=a，f（a）=3，①f（a）-log₂a=a，②通過單調(diào)性解得a=2，得到f（x）的解析式，求出導(dǎo)數(shù)，再由零點存在定理，即可得到所求范圍．

解答： 解：∵定義域為（O，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），
滿足f[f（x）-log₂x]=3，
∴必存在唯一的正實數(shù)a，
滿足f（x）-log₂x=a，f（a）=3，①
∴f（a）-log₂a=a，②
由①②得：3-log₂a=a，log₂a=3-a，
a=2^3-a，左增，右減，有唯一解a=2，
故f（x）-log₂x=a=2，f（x）=2+log₂x，f′（x）=

1

xln2

，
方程f（x）-f′（x）=2即為log₂x-

1

xln2

=0，
令g（x）=log₂x-

1

xln2

，g（1）=0-

1

ln2

＜0，g（2）=1-

1

2ln2

＞0，
則x₀∈（1，2）．
故答案為：（1，2）．

點評：本題考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查零點存在定理及運(yùn)用．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．