Question

已知橢圓

x2

9

+

y2

8

=1的右焦點為F，設點A（2，1），P為橢圓上的一個動點．若|PA|+3|FP|最小，則此時點P的坐標為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先作出圖形來，過點P向橢圓右準線做垂線，垂足為B，根據橢圓方程求得離心率和準線方程，再根據橢圓的定義找到取得最值的狀態求解．

解答： 解：∵橢圓

x2

9

+

y2

8

=1的a=3，b=2

2

，c=1，
e=

1

3

，
∴|PA|+3|FP|即為：|PA|+

1

e

|PF|
∴根據橢圓的第二定義：
過A作右準線的垂線x=9，交與B點，
則|PA|+

1

e

|PF|的最小值為|AB|
∵|AB|=8
∴|PA|+

1

e

|PF|的最小值為：8．此時，

x2

9

+

1

8

=1，解得x=±

3 14

4

，由題意，結合圖形，可知x=

3 14

4

，
P的坐標（

3 14

4

，1）
故答案為：（

3 14

4

，1）．

點評：本題主要考查學生的作圖能力和應用橢圓的定義來求最值的能力，主要考查了橢圓的應用，考查了學生對橢圓基本知識的理解和應用．