Question

已知函數f（x）=x³-ax²-3x
（Ⅰ）已知a=6，且g（x）=f（x）-f′（x）+3x²，求g（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在[1+

2

，+∞）是增函數，導函數f′（x）在（-∞，1]上是減函數，求a的值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）g（x）=f（x）-f′（x）+3x²=x³-6x²+9x+3，g′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）；從而確定函數的單調區間；
（Ⅱ）f′（x）=3x²-2ax-3；則f（x）在[1+

2

，+∞）上是增函數可化為f′（x）≥0在[1+

2

，+∞）恒成立，從而求解．

解答： 解：（Ⅰ）當a=6時，
g（x）=f（x）-f′（x）+3x²=x³-6x²+9x+3，
故g′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）；
列表：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增函數		減函數		增函數

∴增區間為：（-∞，1），（3，+∞）； 減區間為：（1，3）；
（Ⅱ）f′（x）=3x²-2ax-3；
∵f（x）在[1+

2

，+∞）上是增函數，
∴f′（x）≥0在[1+

2

，+∞）恒成立，
即a≤

3x2-3

2x

在[1+

2

，+∞）恒成立，
a≤（

3x2-3

2x

）_min=3；
又∵f′（x）在（-∞，1]上是減函數，
∴

a

3

≥1，
∴a≥3；
故a=3．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．