Question

已知雙曲線的一條準(zhǔn)線與兩漸近線的交點分別為A、B，相應(yīng)于這條準(zhǔn)線的焦點為F，如果△ABF是等邊三角形，那么雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、4
• D、

  2 3

  3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線的漸近線方程和準(zhǔn)線方程公式，算出右準(zhǔn)線交漸近線于A，B的坐標(biāo)．根據(jù)△AFB為等邊三角形，建立關(guān)于a、b、c的方程，化簡算出

3

a=b，從而得到雙曲線的離心率e=2．

解答： 解：∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的準(zhǔn)線方程為x=±

a2

c

，漸近線方程為y=±

b

a

x，
∴以右準(zhǔn)線為例，求得它與兩條漸近線交于A、B兩點，
得A（

a2

c

，

ab

c

），B（

a2

c

，-

ab

c

）
由于△ABF是等邊三角形，F(xiàn)（c，0），
∴c-

a2

c

=

3

2

|AB|=

3 ab

c

，即

c2-a2

c

=

3 ab

c

，化簡得

3

a=b
因此，c=

a2+b2

=2a，
雙曲線的離心率e=

c

a

=2．
故選B．

點評：本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的離心率．著重考查了三角形的形狀判斷、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．