Question

已知函數f（x）=a^x+x²-xlna，a＞1．
（Ⅰ）求證：函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（Ⅱ）若方程|f（x）-t|=1有三個不同的實根，求t的值；
（Ⅲ）對任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數的零點與方程根的關系,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）證明a＞1時函數的導數大于0．
（Ⅱ）先判斷函數f（x）的極小值，再由y=|f（x）-t|-1有三個零點，所以方程f（x）=t±1有三個根，根據t-1應是f（x）的極小值，解出t．
（Ⅲ）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于e-1，由單調性知，f（x）的最大值是f（1）或f（-1），最小值f（0）=1，由f（1）-f（-1）的單調性，判斷f（1）與f（-1）的大小關系，再由f（x）的最大值減去最小值f（0）大于或等于e-1求出a的取值范圍．

解答： 解：（I）f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，…（2分）
由于a＞1，故當x∈（0，+∞）時，lna＞0，a^x-1＞0，所以f′（x）＞0，
所以函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增； …（4分）
（II）令f′（x）=2x+（a^x-1）lna=0，解得x=0，…（5分）
x，f（x），f′（x）的變化情況表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

因為方程|f（x）-t|=1有三個不同的實根，所以f（x）=t±1
故當x→∞時，f（x）→+∞，
t-1=f（x）_min=f（0）=，所以t=2；…（8分）
（III）由（II）可知f（x）在區間[-1，0]單調遞減，在[0，1]單調遞增．
所以f（x）_min=f（0）=1，f（x）_max=max{f（-1），f（1）}，f（-1）=

1

a

+1+lna，f（1）=a+1-lna，
f（1）-f（-1）=a-

1

a

-2lna，
設函數g(x)=x-

1

x

-2lnx，g′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2，所以g′（x）≥0（當x=1時取等號）
所以g(x)=x-

1

x

-2lnx遞增，g（1）=0，a＞1，
所以f（1）-f（-1）=a-

1

a

-2lna＞0，
所以f（1）＞f（-1）…（11分）
對任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|_max=|f（1）-f（0）|=a-lna≤e-1，
所以1＜a≤e．

點評：本題考查函數的零點，用導數判斷函數單調性，利用導數研究函數極值，屬于難題．