Question

已知曲線C1：（為參數），曲線C2：（t為參數）．

（1）指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點的個數；

（2）若把C1，C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線．寫出的參數方程．與公共點的個數和C公共點的個數是否相同？說明你的理由．

 

Answer 1

（1）的普通方程為，的普通方程為，所以與只有一個公共點；（2）壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個公共點，和與公共點個數相同．

【解析】

試題分析：本題主要考查參數方程與普通方程的互化、直線與圓的位置關系、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，利用參數方程中參數將參數方程轉化成普通方程，判斷圖形形狀，再利用圓心到直線的距離與半徑的關系判斷直線與圓的位置關系；第二問，先將原和的縱坐標壓縮為原來的一半，得到曲線和的參數方程，再轉化成普通方程得到直線和橢圓，2個方程聯立，消參，利用判別式判斷有幾個交點．

試題解析：（1）是圓，是直線．

的普通方程為，圓心，半徑．

的普通方程為． 2分

因為圓心到直線的距離為，

所以與只有一個公共點． 4分

（2）壓縮后的參數方程分別為

：（為參數）； ：（t為參數）．

化為普通方程為：：，：， 6分

聯立消元得，

其判別式， 7分

所以壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個公共點，和與公共點個數相同．

考點：參數方程與普通方程的互化、直線與圓的位置關系、直線與橢圓的位置關系．