Question

定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+2）=f（x-2），且f（x）在[-5，-4]上是減函數，又α、β是銳角三角形的兩個內角，則（　　）

• A、f（cosα）＜f（cosβ）
• B、f（sinβ）＞f（cosα）
• C、f（sinα）＜f（cosβ）
• D、f（sinα）＜f（sinβ）

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：由f（x+2）=f（x-2），即f（x+4）=f（x），得函數的周期為4，然后利用函數的周期和奇偶性進行判斷．

解答： 解：由f（x+2）=f（x-2），即f（x+4）=f（x），所以函數的周期為4，
因為f（x）在[-5，-4]上為減函數，所以f（x）在[-1，0]上為減函數，
因為f（x）為偶函數，所以f（x）在[0，1]上為單調增函數．
因為在銳角三角形中，π-α-β＜

π

2

，所以α+β＞

π

2

，所以

π

2

＞α＞

π

2

-β＞0，
所以sinα＞sin(

π

2

-β)=cosβ，
cosα＜cos（

π

2

-β）=sinβ，
因為f（x）在[0，1]上為單調增函數．
所以f（sinα）＞f（cosβ），f（cosα）＜f（sinβ），
故選：B．

點評：本題主要考查了函數的奇偶性和周期性的應用，以及三角函數的圖象和性質，綜合性較強，涉及的知識點較多．