Question

5．已知冪函數f（x）=x^9-3m（m∈N^*）的圖象關于原點對稱，且在R上函數值隨x的增大而增大．
（1）求f（x）表達式；
（2）求滿足f（a+1）+f（3a-4）＜0的a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數的單調性求出m的范圍，從而求出m的值；
（2）根據函數的奇偶性得到f（a+1）＜f（4-3a），根據函數在R上遞增，得到a+1＜4-3a，求出a的范圍即可．

解答 解　（1）∵函數在（0，+∞）上遞增，
∴9-3m＞0，解得m＜3，…（2分）
又m∈N^*，
∴m=1，2．…（3分）
又函數圖象關于原點對稱，
∴3m-9為奇數，故m=2．…（5分）
∴f（x）=x³…（6分）
（2）∵f（a+1）+f（3a-4）＜0，
∴f（a+1）＜-f（3a-4）…（7分）
又f（x）為奇函數，
∴f（a+1）＜f（4-3a）…（9分）
又函數在R上遞增，
∴a+1＜4-3a…（11分）
∴$a＜\frac{3}{4}$．…（12分）

點評 本題考查了冪函數的性質，考查函數的單調性、奇偶性問題，是一道中檔題．