Question

10．已知函數f（x）=log₂$\frac{1-x}{1+x}$
（1）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（2）若f（3m+1）＜f（m），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）為奇函數，結合對數的運算性質和奇偶性的定義，可得答案．
（2）根據復合函數的單調性“同增異減”的原則，可得f（x）在定義域（-1，1）上是減函數，則f（3m+1）＜f（m）可化為：-1＜m＜3m+1＜1，解得答案．

解答 解：（1）f（x）為奇函數，-----------------------（1分）
證明如下：
因為，定義域為（-1，1）關于原點對稱---------------------（3分）
f（-x）=${log}_{2}\frac{1+x}{1-x}$，
∴f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），
故f（x）為奇函數-----------------（6分）
（2）令u=$\frac{1-x}{1+x}$=$\frac{2}{1+x}$-1為（-1，1）上的減函數，--------------------（8分）
由復合函數的單調性可知f（x）在定義域（-1，1）上是減函數，---------------（9分）
所以f（3m+1）＜f（m）可化為：-1＜m＜3m+1＜1，
解得：$-\frac{1}{2}$＜m＜0------------------（12分）

點評 本題考查的知識點是復合函數的單調性，函數的奇偶性，對數函數的圖象和性質，難度中檔．