Question

【題目】已知函數，，，為自然對數的底數.

（Ⅰ）若函數在上存在零點，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若函數在處的切線方程為.求證：對任意的，總有.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）首先利用導數判斷函數的單調性，然后由此求出函數的最小值，只要最小值小于0即可求出實數的取值范圍；（Ⅱ）首先由條件得出的值確定函數解析式，然后由得到，最后構造前后兩個函數，驗證前一個函數的最小值大于后一個函數的最大值。

詳解：（Ⅰ）易得.

若，有，不合題意；

若，有，

，滿足題設；

若，令，得

∴在上單調遞減；在單調遞增，

則，∴.

又滿足題設，

綜上所述，所求實數.

（Ⅱ）證明：易得，，

則由題意，得，解得.

∴，從而，即切點為.

將切點坐標代入中，解得. ∴.

要證，即證（ ，

只需證 ）.

令， .

則由，得，

∴在上單調遞減；在上單調遞增，

∴.

又由，得

∴在上單調遞增；在上單調遞減，

∴.

∴，

顯然，上式的等號不能同時取到.

故對任意的，總有.