Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2﹣y2=1．
（1）過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；
（2）設斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點，若l與圓x2+y2=1相切，求證：OP⊥OQ；
（3）設橢圓C2：4x2+y2=1，若M、N分別是C1、C2上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：雙曲線C1： 左頂點A（﹣ ），

漸近線方程為：y=± x．

過A與漸近線y= x平行的直線方程為y= （x+ ），即y= ，

所以 ，解得 ．

所以所求三角形的面積為S= ．

（2）解：設直線PQ的方程為y=kx+b，

因直線PQ與已知圓相切，故 ，

即b2=2，由 ，

得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0，

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則 ，

又y1y2=（x1+b）（x2+b）．

所以 =x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2

=2（﹣1﹣b2）+2b2+b2

=b2﹣2=0．

故PO⊥OQ．

（3）解：當直線ON垂直x軸時，|ON|=1，|OM|= ，則O到直線MN的距離為 ．

當直線ON不垂直x軸時，設直線ON的方程為：y=kx，（顯然|k|＞ ），

則直線OM的方程為y= ，由

得 ，

所以 ．

同理 ，

設O到直線MN的距離為d，

因為（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，

所以 = =3，

即d= ．

綜上，O到直線MN的距離是定值．

【解析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，求出直線與另一條漸近線的交點，然后求出三角形的面積．（2）設直線PQ的方程為y=kx+b，通過直線PQ與已知圓相切，得到b2=2，通過求解 =0．證明PO⊥OQ．（3）當直線ON垂直x軸時，直接求出O到直線MN的距離為 ．當直線ON不垂直x軸時，設直線ON的方程為：y=kx，（顯然|k|＞ ），推出直線OM的方程為y= ，利用 ，求出 ， ，設O到直線MN的距離為d，通過（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2 ， 求出d= ．推出O到直線MN的距離是定值．