Question

15．已知數列{a_n}中，其前n項和S_n滿足S_n=2a_n-2（n∈N*）．
（1）求證：數列{a_n}為等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=（n+1）•a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用數列的通項和前n項和的關系：當n=1時，a₁=S₁；當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，即可得到數列{a_n}為首項為2，公比為2的等比數列，即可求出通項公式，
（2）利用錯位相減法即可求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2a₁-2，可得a₁=2；
當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），
即有a_n=2a_n-1，
則數列{a_n}為首項為2，公比為2的等比數列，
可得a_n=2ⁿ，
（2）∵b_n=（n+1）•a_n=b_n=（n+1）•2ⁿ，
∴S_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ，①
∴2S_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+n×2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-S_n=2+2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ-（n+1）×2ⁿ⁺¹=2+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-（n+1）×2ⁿ⁺¹=-n×2ⁿ⁺¹．
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查數列的通項的求法和錯位相減法法求和，屬于中檔題．