Question

10．若S_n=sin$\frac{π}{7}+sin\frac{2π}{7}+…+sin\frac{nπ}{7}（n∈{N^*}）$，則在S₁，S₂，…，S₂₀₁₇中，正數的個數是（　　）

• A． 143
• B． 286
• C． 1731
• D． 2000

Answer 1

分析 由于sin$\frac{π}{7}$＞0，$sin\frac{2π}{7}$＞0，…，$sin\frac{6π}{7}$＞0，sin$\frac{7π}{7}$=0，sin$\frac{8π}{7}$=-$sin\frac{π}{7}$＜0，…，sin$\frac{13π}{7}$=-$sin\frac{6π}{7}$＜0，sin$\frac{14π}{7}$=0，可得到S₁＞0，…，S₁₂＞0，S₁₃=0，而S₁₄=0，從而可得到周期性的規律，從而得到答案．

解答 解：由于sin$\frac{π}{7}$＞0，$sin\frac{2π}{7}$＞0，…，$sin\frac{6π}{7}$＞0，sin$\frac{7π}{7}$=0，sin$\frac{8π}{7}$=-$sin\frac{π}{7}$＜0，…，sin$\frac{13π}{7}$=-$sin\frac{6π}{7}$＜0，sin$\frac{14π}{7}$=0，可得到S₁＞0，…，S₁₂＞0，S₁₃=0，而S₁₄=0，
2017=14×144+1，
∴S₁，S₂，…，S₂₀₁₇中，正數的個數是2017-144×2+2=1731．
故選：C．

點評 本題考查了三角函數的誘導公式周期性、數列求和，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．