Question

15．（1）化簡$\frac{\sqrt{1-2sin10°cos10°}}{sin170°-\sqrt{1-si{n}^{2}170°}}$；
（2）已知tanθ=2，求2+sinθcosθ-cos²θ的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數基本關系式把分子中根式內部轉化為完全平方式，把分母公式化為余弦開方，則答案可求；
（2）由2+sinθcosθ-cos²θ=$\frac{2（si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ）+sinθcosθ-co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$，然后轉化為正切求解．

解答 解：（1）簡$\frac{\sqrt{1-2sin10°cos10°}}{sin170°-\sqrt{1-si{n}^{2}170°}}$=$\frac{{\sqrt{{{（sin{{10}°}-cos{{10}°}）}^2}}}}{{sin{{10}°}-cos{{10}°}}}=\frac{{cos{{10}°}-sin{{10}°}}}{{sin{{10}°}-cos{{10}°}}}=-1$；
（2）2+sinθcosθ-cos²θ=$\frac{2（si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ）+sinθcosθ-co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$
=$\frac{2si{n}^{2}θ+sinθcosθ+co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{2ta{n}^{2}θ+tanθ+1}{1+ta{n}^{2}θ}$
=$\frac{{2×{2^2}+2+1}}{{1+{2^2}}}=\frac{11}{5}$．

點評 本題考查三角函數的化簡求值，考查同角三角函數基本關系式的應用，是中檔題．