Question

5．已知函數f（x）=alnx-ax（a∈R）．
（I）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）求證：$\frac{ln2}{2}$•$\frac{ln3}{3}$•$\frac{ln4}{4}$…$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{n}$（n∈N^*且n≥2 ）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出 $f'（x）=\frac{a}{x}-a=\frac{a（1-x）}{x}$，通過1°a=0，2°a＞0，3°a＜0，分別求解函數的單調區間即可．
（Ⅱ）通過令a=1，f（x）=lnx-x，利用（Ⅰ）知f（x）的單調性，推出lnx-x≤-1，得到$0＜\frac{lnn}{n}＜\frac{n-1}{n}$，然后證明結果．

解答 解：（Ⅰ） $f'（x）=\frac{a}{x}-a=\frac{a（1-x）}{x}$
1°若a=0，則f（x）=0無單調區間；
2°若a＞0，則當x∈（0，1）時 f'（x）＞0
當x∈（1，+∞）時f'（x）＜0
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，…（4分）
3°若a＜0，則當x∈（0，1）時 f'（x）＜0
當x∈（1，+∞）時f'（x）＞0f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增．…（6分）
（Ⅱ）證明：令a=1，∴f（x）=lnx-x
由（Ⅰ）知f（x）在（0，1）遞增函數，在（1，+∞）是減函數，
∴f（x）≤f（1）=-1…（8分）
即lnx-x≤-1，
∴lnx≤x-1，∵$n≥2∴lnn＜n-1∴0＜\frac{lnn}{n}＜\frac{n-1}{n}$，
∴$\frac{ln2}{2}•\frac{ln3}{3}•\frac{ln4}{4}…\frac{lnn}{n}＜\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•\frac{3}{4}…\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}$…（12分）

點評 本題考查導數判斷函數的單調性，以及函數的單調性的應用，考查轉化思想以及分類討論思想的應用，考查計算能力．