Question

3．設函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a∈R），g（x）=x²-（a+1）x．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）當a≥0時，討論函數f（x）與g（x）的圖象的交點個數．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，判斷函數的單調區間即可；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），問題轉化為求函數F（x）的零點個數，通過討論a的范圍，求出函數F（x）的單調性，從而判斷函數F（x）的零點個數即f（x），g（x）的交點即可．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）=$\frac{{{x^2}-a}}{x}$，
當a≤0時，f'（x）＞0，所以 f（x）的增區間是（0，+∞），無減區間；
當a＞0時，f'（x）=$\frac{{（{x+\sqrt{a}}）（{x-\sqrt{a}}）}}{x}$；
當0＜x＜$\sqrt{a}$時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x＞$\sqrt{a}$時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
綜上，當a≤0時，函數f（x）的增區間是（0，+∞），無減區間；
當a＞0時，f（x）的增區間是$（{\sqrt{a}，+∞}）$，減區間是$（{0，\sqrt{a}}）$．
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}+（{a+1}）x-alnx，x＞0$，
問題等價于求函數F（x）的零點個數．
①當a=0時，F（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$+x，x＞0，F（x）有唯一零點；
當a≠0時，F'（x）=-$\frac{{（{x-1}）（{x-a}）}}{x}$．
②當a=1時，F'（x）≤0，當且僅當x=1時取等號，
所以F（x）為減函數．
注意到F（1）=$\frac{3}{2}$＞0，F（4）=-ln4＜0，
所以F（x）在（1，4）內有唯一零點；
③當a＞1時，當0＜x＜1，或x＞a時，F'（x）＜0；
1＜x＜a時，F'（x）＞0．
所以F（x）在（0，1）和（a，+∞）上單調遞減，在（1，a）上單調遞增．
注意到F（1）=a+$\frac{1}{2}＞0，F（{2a+2}）=-aln（{2a+2}）＜0$，
所以F（x）在（1，2a+2）內有唯一零點；
④當0＜a＜1時，0＜x＜a，或x＞1時，F'（x）＜0；
a＜x＜1時，F'（x）＞0．
所以F（x）在（0，a）和（1，+∞）上單調遞減，在（a，1）上單調遞增．
注意到F（1）=a+$\frac{1}{2}＞0，F（a）=\frac{a}{2}（{a+2-2lna}）＞0，F（{2a+2}）=-aln（{2a+2}）＜0$，
所以F（x）在（1，2a+2）內有唯一零點．綜上，F（x）有唯一零點，
即函數f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個交點．

點評 本題考查了函數的單調性、零點問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．