Question

13．已知函數f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和對稱中心；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[$\frac{π}{3}$，π]上的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），利用三角函數周期公式可求T，令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，解得函數的對稱中心．
（Ⅱ）由范圍x∈[$\frac{π}{3}$，π]，利用正弦函數的圖象和性質即可得解函數的取值范圍．

解答 （本題滿分為13分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=2cosx（sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{3}$），…5分
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，…6分
∴令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，解得：x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，即函數的對稱中心為：（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），k∈Z…7分
（Ⅱ）∵x∈[$\frac{π}{3}$，π]，
∴f（x）在區間[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{12}$]單調遞增，在區間[$\frac{7π}{12}$，π]單調遞減，
∵f（$\frac{π}{3}$）=sinπ=0，f（$\frac{7π}{12}$）=sin$\frac{3π}{2}$=-1，f（π）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴函數f（x）在區間[$\frac{π}{3}$，π]上的取值范圍為[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]…13分

點評 本題值域考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數周期公式，正弦函數的圖象和性質的應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于基礎題．