Question

9．已知x＞0，y＞0，$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1，不等式x+y≥2m-1恒成立，則m的取值范圍（　　）

• A． （-∞，$\frac{7}{2}$]
• B． （-∞，$\frac{13}{2}$]
• C． （-∞，$\frac{15}{2}$]
• D． （-∞，$\frac{17}{2}$]

Answer 1

分析 要使不等式x+y≥2m-1恒成立，只要求出x+y的最小值，得到關于m的不等式解之即可．

解答 解：x＞0，y＞0，$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1，不等式x+y≥2m-1恒成立，
所以（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）=10+$\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}$≥10$+2\sqrt{\frac{y}{x}×\frac{9x}{y}}$=16，
當且僅當$\frac{y}{x}=\frac{9x}{y}$時等號成立，所以2m-1≤16，解得m$≤\frac{17}{2}$；
故m的取值范圍是（-$∞，\frac{17}{2}$]；
故選D．

點評 本題考查了不等式恒成立問題以及利用基本不等式求最小值；解答的關鍵是通過基本不等式求出x+y的最小值，然后解關于m的不等式．