Question

3．給出以下三個結論：
①若數列{a_n}的前n項和為S_n=3ⁿ+1（n∈N^*），則其通項公式為a_n=2•3^n-1；
②已知a＞b，一元二次不等式ax²+2x+b≥0對于一切實數x恒成立，又存在x₀∈R，使ax₀²+2x₀+b=0成立，則$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$的最小值為2$\sqrt{2}$；
③若正實數x，y滿足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a²+2a+2xy-34≥0恒成立，則實數a的取值范圍是（-∞，-3]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）．
其中正確的個數為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①根據數列的前n項和求出通項公式，判斷①錯誤；
②根據一元二次不等式恒成立以及特稱命題求得ab的關系，再利用換元法求出$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$的最小值，判斷②正確；
③利用基本不等式求出xy的最小值，再轉化為關于a的不等式，求出實數a的取值范圍，判斷③正確．

解答 解：對于①，數列{a_n}的前n項和為S_n=3ⁿ+1（n∈N^*），
∴S_n-1=3^n-1+1（n≥2），
∴a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=2•3^n-1（n≥2），
又a₁=S₁=4，
∴通項公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2{•3}^{n-1}，n≥2}\\{4，n=1}\end{array}\right.$，①錯誤；
對于②，a＞b時，一元二次不等式ax²+2x+b≥0對于一切實數x恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4ab≤0}\end{array}\right.$，∴a＞0，且ab≥1；
又存在x₀∈R，使ax₀²+2x₀+b=0成立，
可得△=0，∴ab=1，∴a＞1；
∴$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}{a-\frac{1}{a}}$=$\frac{{a}^{4}+1}{{a}^{3}-a}$＞0；
∴${（\frac{{a}^{4}+1}{{a}^{3}-a}）}^{2}$=$\frac{{a}^{8}+1+{2a}^{4}}{{a}^{6}{+a}^{2}-{2a}^{4}}$=$\frac{{a}^{4}+\frac{1}{{a}^{4}}+2}{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}-2}$=$\frac{{{（a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}）}^{2}}{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}-2}$，
令a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=t，則t＞2，
∴${（\frac{{a}^{4}+1}{{a}^{3}-a}）}^{2}$=$\frac{{t}^{2}}{t-2}$=$\frac{{（t-2）}^{2}+4（t-2）+4}{t-2}$=（t-2）+4+$\frac{4}{t-2}$≥2$\sqrt{（t-2）•\frac{4}{t-2}}$+4=8，
當且僅當t=4時“=”成立；
∴${（\frac{{a}^{4}+1}{{a}^{3}-a}）}^{2}$的最小值為8，即$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{a-b}$ 的最小值為$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，②正確；
對于③，正實數x，y滿足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy-4，
∴不等式（x+2y）a²+2a+2xy≥34恒成立，
即（4xy-4）a²+2a+2xy≥34恒成立，
變形可得2xy（2a²+1）≥4a²-2a+34恒成立，
即xy≥$\frac{{2a}^{2}-a+17}{{2a}^{2}+1}$恒成立，
∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2$\sqrt{xy}$，
∴4xy=x+2y+4≥4+2$\sqrt{xy}$，
即2${（\sqrt{xy}）}^{2}$-$\sqrt{2}$•$\sqrt{xy}$-2≥0，
解不等式可得$\sqrt{xy}$≥$\sqrt{2}$，或$\sqrt{xy}$≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍負）
可得xy≥2，要使xy≥$\frac{{2a}^{2}-a+17}{{2a}^{2}+1}$恒成立，只需2≥$\frac{{2a}^{2}-a+17}{{2a}^{2}+1}$恒成立，
化簡可得2a²+a-15≥0，
即（a+3）（2a-5）≥0，解得a≤-3或a≥$\frac{5}{2}$，
∴實數a的取值范圍是（-∞，-3]∪[$\frac{5}{2}$，+∞），③正確．
綜上，正確的命題是②③．
故選：C．

點評 本題考查了命題真假的判斷問題，也考查了基本不等式的應用，恒成立問題，以及變形并求最值的應用問題，是難題．