Question

1．已知直線l過點P（-1，2），傾斜角為$\frac{2}{3}$π，圓的極坐標方程為ρ=2cos$（θ+\frac{π}{3}）$．
（1）求圓的普通方程；
（2）若直線l與圓相交于M、N兩點，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析 （1）圓的極坐標方程轉化為${ρ^2}=ρcosθ-\sqrt{3}ρsinθ$，由此能求出圓的普通方程．
（2）由直線l過點P（-1，2），傾斜角為$\frac{2}{3}π$，求出直線l的參數方程，將直線的參數方程代入圓的方程，得：${t^2}+（3+2\sqrt{3}）t+6+2\sqrt{3}=0$，由此能求出|PM|•|PN|的值．

解答 解：（1）因為圓的極坐標方程為$ρ=2cos（θ+\frac{π}{3}）=cosθ-\sqrt{3}sinθ$，
所以${ρ^2}=ρcosθ-\sqrt{3}ρsinθ$…（2分）
所以圓的普通方程為${x^2}+{y^2}-x+\sqrt{3}y=0$．               …（4分）
（2）直線l過點P（-1，2），傾斜角為$\frac{2}{3}π$
所以直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcos\frac{2}{3}π\\ y=2+tsin\frac{2}{3}π\end{array}\right.$（t為參數），
即$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數）       …（6分）
將直線的參數方程代入圓的普通方程，整理得：${t^2}+（3+2\sqrt{3}）t+6+2\sqrt{3}=0$．                       …（8分）
設方程的兩根為t₁，t₂，則${t_1}{t_2}=6+2\sqrt{3}$，所以$|PM|•|PN|=|{t_1}{t_2}|=6+2\sqrt{3}$．               …（10分）

點評 本題考查圓的普通方程的求法，考查兩線段長的乘積的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，是中檔題．