Question

12．已知函數f（x）=x³-$\frac{3}{2}$（k+1）x²+3kx+1，其中k∈R．
（1）當k=3時，求函數f（x）在[0，5]上的值域；
（2）若函數f（x）在[1，2]上的最小值為3，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區(qū)間，求出函數的值域即可；
（2）法一（二）：通過討論k的范圍，求出函數的最小值，結合函數f（x）在[1，2]上的最小值為3，求出k的范圍即可．

解答 （1）解：k=3時，f（x）=x³-6x²+9x+1，
則f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
令f′（x）=0得x₁=1，x₂=3，列表如下：

x	0	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，5）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1	單調遞增	5	單調遞減	1	單調遞增	21

由上表知函數f（x）的值域為[1，21]…（6分）
（2）方法一：f′（x）=3x²-3（k+1）x+3k=3（x-1）（x-k）
①當k≤1時，?x∈[1，2]，f'（x）≥0，函數f（x）在區(qū)間[1，2]單調遞增
所以$f{（x）_{min}}=f（1）=1-\frac{3}{2}（k+1）+3k+1=3$
即$k=\frac{5}{3}$（舍）                            …（8分）
②當k≥2時，?x∈[1，2]，f'（x）≤0，函數f（x）在區(qū)間[1，2]單調遞減
所以f（x）_min=f（2）=8-6（k+1）+3k•2+1=3
符合題意                                 …（10分）
③當1＜k＜2時，
當x∈[1，k）時，f'（x）＜0f（x）區(qū)間在[1，k）單調遞減
當x∈（k，2]時，f'（x）＞0f（x）區(qū)間在（k，2]單調遞增
所以$f{（x）_{min}}=f（k）={k^3}-\frac{3}{2}（k+1）{k^2}+3{k^2}+1=3$
化簡得：k³-3k²+4=0
即（k+1）（k-2）²=0
所以k=-1或k=2（舍）
注：也可令g（k）=k³-3k²+4
則g′（k）=3k²-6k=3k（k-2）
對?k∈（1，2），g′（k）≤0，
g（k）=k³-3k²+4在k∈（1，2）單調遞減
所以0＜g（k）＜2不符合題意
綜上所述：實數k取值范圍為k≥2…（13分）
方法二：f′（x）=3x²-3（k+1）x+3k=3（x-1）（x-k）
①當k≥2時，?x∈[1，2]，f'（x）≤0，
函數f（x）在區(qū)間[1，2]單調遞減
所以f（x）_min=f（2）=8-6（k+1）+3k•2+1=3
符合題意                                    …（8分）
②當k≤1時，?x∈[1，2]，f'（x）≥0，
函數f（x）在區(qū)間[1，2]單調遞增
所以f（x）_min＜f（2）=3不符合題意           …（10分）
③當1＜k＜2時，
當x∈[1，k）時，f'（x）＜0f（x）區(qū)間在[1，k）單調遞減，
當x∈（k，2]時，f'（x）＞0f（x）區(qū)間在（k，2]單調遞增，
所以f（x）_min=f（k）＜f（2）=3不符合題意，
綜上所述：實數k取值范圍為k≥2…（13分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．