【題目】已知函數
，
.
（1）當
時，求
的最小值；
（2）當
時，若存在
，使得對任意的
，都有
恒成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
（1）求出
，分三種情況討論
的范圍，在定義域內，分別令
求得
的范圍，可得函數
增區間，
求得的范圍，可得函數的減區間，根據單調性；（2）存在
，使得對任意的
都有
恒成立，等價于
，分別利用導數研究函數的單調性，并求出
的最小值，解不等式即可得結果.
（1）因為
的定義域為
，
.
①當
時，因為
，
，所以在
上為增函數，
；
②當
時，在
上為減函數，在
上為增函數，
；
③當
時，在上為減函數，
.
（2）當時，若存在，使得對任意的都有恒成立，
則.
由（1）知，當時， .
因為
，令
，則
，
令
，得
；令
，得
，
所以在
上單調遞減，在
上單調遞增，
，所以
在
上單調遞增.
所以
，則
，
解得
，又，
，
所以，即實數的取值范圍是.
學而優銜接教材南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x﹣4y+1=0的交點，且面積最小的圓方程為（ ）
A.(x+
)2+(y+
)2=
B.(x﹣)2+(y﹣)2=
C.(x﹣)2+(y+)2=D.(x+)2+(y﹣)2=
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定義在R上的函數f（x）滿足:對任意
都有
，且當x>0時，
．
（1）求
的值，并證明
為奇函數；
（2）判斷函數的單調性，并證明；
（3）若
對任意
恒成立，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某臍橙種植基地記錄了10棵臍橙樹在未使用新技術的年產量（單位：
）和使用了新技術后的年產量的數據變化，得到表格如下：
未使用新技術的10棵臍橙樹的年產量
第一棵 | 第二棵 | 第三棵 | 第四棵 | 第五棵 | 第六棵 | 第七棵 | 第八棵 | 第九棵 | 第十棵 | |
年產量 | 30 | 32 | 30 | 40 | 40 | 35 | 36 | 45 | 42 | 30 |
使用了新技術后的10棵臍橙樹的年產量
第一棵 | 第二棵 | 第三棵 | 第四棵 | 第五棵 | 第六棵 | 第七棵 | 第八棵 | 第九棵 | 第十棵 | |
年產量 | 40 | 40 | 35 | 50 | 55 | 45 | 42 | 50 | 51 | 42 |
已知該基地共有20畝地，每畝地有50棵臍橙樹.
（1）估計該基地使用了新技術后，平均1棵臍橙樹的產量；
（2）估計該基地使用了新技術后，臍橙年總產量比未使用新技術將增產多少？
（3）由于受市場影響，導致使用新技術后臍橙的售價由原來（未使用新技術時）的每千克10元降為每千克9元，試估計該基地使用新技術后臍橙年總收入比原來增加的百分數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
滿足
， 
，其中
.
（1）設
，求證：數列
是等差數列，并求出
的通項公式；
（2）設
，數列
的前
項和為
，是否存在正整數
，使得
對于
恒成立，若存在，求出
的最小值，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在橢圓
外一直線
上取
個不同的點
，過
向橢圓作切線
、
，切點分別為
、
.記直線
為
.
（1）若存在正整數
、
（
、
，
），使得點
在直線
上，證明：點
在直線上；
（2）試求直線
將橢圓分成的區域的個數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，曲線
： 
（
為參數， 
），在以坐標原點為極點， 
軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線
： 
.
（1）試將曲線
與
化為直角坐標系
中的普通方程，并指出兩曲線有公共點時
的取值范圍；
（2）當
時，兩曲線相交于
， 
兩點，求
.
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