【題目】已知數列
滿足
， 
，其中
.
（1）設
，求證：數列
是等差數列，并求出
的通項公式；
（2）設
，數列
的前
項和為
，是否存在正整數
，使得
對于
恒成立，若存在，求出
的最小值，若不存在，請說明理由.
【答案】(1) 
;(2) 
的最小值為3.
【解析】試題分析：（1）利用遞推公式即可得出
為一個常數，從而證明數列
是等差數，再利用等差數列的通項公式即可得到
，進而得到
；（2）利用（1）的結論，利用“裂項求和”即可得到
，要使得
對于
恒成立，只要
，即
，解出即可.
試題解析：（1）證明： 
，
所以數列
是等差數列，
，因此
，
由
.
（2）由
，
所以
，
所以
，
因為
，所以
恒成立，
依題意要使
對于
，恒成立，只需
，且
解得
， 
的最小值為
.
【方法點晴】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，掌握一些常見的裂項技巧：①
；②
；③
；
④
；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正方體
中，過對角線
的一個平面交
于點
，交
于
.
①四邊形
一定是平行四邊形；
②四邊形有可能是正方形；
③四邊形在底面
內的投影一定是正方形；
④四邊形有可能垂直于平面
．
以上結論正確的為_______________．（寫出所有正確結論的編號）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
（
）離心率等于
，P（2，3）、Q（2，﹣3）是橢圓上的兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）A，B是橢圓上位于直線PQ兩側的動點，若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某居民區的物業部門每月向居民收取衛生費，計費方法如下：3人和3人以下的住戶，每戶收取5元；超過3人的住戶，每超出1人加收1.2元．設計一個算法，根據輸入的人數，計算應收取的衛生費，并畫出程序框圖．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數f（x）=
是定義在[-l，1]上的奇函數，且f（
）=
。
（1）確定函數f（x）的解析式；
（2）判斷并用定義證明f（x）在（-1，1）上的單調性；
（3）若f（1-3m）+f（1+m）≥0，求實數m的所有可能的取值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在120°的二面角α－
－β的兩個面內分別有點A，B，A∈α，B∈β，A，B到棱l的距離AC，BD分別是2，4，且線段AB＝10.
(1)求C，D間的距離；
(2)求直線AB與平面β所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）已知點M是線段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求實數λ的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，過點E，F的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．
（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；
（2）求直線AF與平面α所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=mlnx﹣x2+2（m∈R）．
（1）當m=1時，求f（x）的單調區間；
（2）若f（x）在x=1時取得極大值，求證：f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3；
（3）若m≤8，當x≥1時，恒有f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3恒成立，求m的取值范圍．
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