Question

13．下列命題為真命題的是（　�。�

• A． 若p∧q為假命題，則p∨q為真命題
• B． 不存在實數α，β，使得等式tanα+tanβ=tan（α+β）成立
• C． 函數f（x）=ax²+bx+c為偶函數的充要條件是 b=0
• D． 若定義在R上的函數f（x）滿足f（x）•f（x+1）=1，則f（x）是一個周期為1的函數

Answer 1

分析 對于A，若p∧q為假命題⇒p、q中至少有一個為假命題，二者均假時p∨q為假，知A錯誤；
對于B，令α=β=0，可知B錯誤；
對于C，利用偶函數的定義f（-x）=f（x），可判斷函數f（x）=ax²+bx+c為偶函數的充要條件是 b=0，可知C正確；
對于D，由f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，⇒f（x+2）=f（x），即f（x）是一個周期為2的函數，可知D錯誤．

解答 解：對于A，若p∧q為假命題，則p、q中至少有一個為假命題，當p、q均為假命題時，p∨q為假命題，故A錯誤；
對于B，存在實數α=β=0，使得等式tan0+tan0=tan（0+0）成立，故B錯誤；
對于C，函數f（x）=ax²+bx+c為偶函數⇒f（-x）=f（x），即ax²-bx+c=ax²+bx+c?2bx=0，x不恒為0，故b=0，反之亦然，
即函數f（x）=ax²+bx+c為偶函數的充要條件是 b=0，故C正確；
對于D，若定義在R上的函數f（x）滿足f（x）•f（x+1）=1，即f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，故f[（x+1）+1]=$\frac{1}{f（x+1）}$=f（x），即f（x+2）=f（x），所以f（x）是一個周期為2的函數，故D錯誤；
綜上所述，以上命題為真命題的是：C，
故選：C．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查函數的奇偶性、周期性的應用，考查充分必要條件、復合命題的真假判斷，屬于中檔題．