Question

8．y=2sin（$\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}$）-$\frac{2}{9}x$+$\frac{8}{9}$在x∈R上有零點，記作x₁，x₂，…x_n，求x₁+x₂+…+x_n=（　　）

• A． 16
• B． 12
• C． 20
• D． -32

Answer 1

分析 根據函數y有零點，令y=0，即2sin（$\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{9}x$-$\frac{8}{9}$，轉化為函數f（x）=sin（$\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}$）與y=$\frac{1}{9}x$-$\frac{4}{9}$圖象的交點問題．利用圖象即可求解．

解答 解：由題意，函數y有零點，令y=0，即2sin（$\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{9}x$-$\frac{8}{9}$，
轉化為函數f（x）=sin（$\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}$）與g（x）=$\frac{1}{9}x$-$\frac{4}{9}$圖象的交點問題．
函數f（x）的周期T=12．

從圖象可以看出，函數f（x）與g（x）只有3個交點．
即函數y=2sin（$\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}$）-$\frac{2}{9}x$+$\frac{8}{9}$只有3個零點，
∴x₁=-5，x₂=4，x₃=13，
那么：x₁+x₂+x₃=12．
故選：B．

點評 本題考查了三角函數的零點問題，轉化兩個函數圖象的交點問題，考查了轉化思想，作圖能力，屬于中檔題．