Question

如圖，從圓O外一點P作圓O兩條切線，切點分別為A，B，AB與OP交于點M，設CD為過點M且不過圓心O的一條弦，求證：O，C，P，D四點共圓．

Answer 1

分析：先根據PA，PB為圓O的兩條切線，得到OP垂直平分弦AB，進而得到OM•MP=AM²；再結合相交弦定理即可得到AM•BM=CM•DM，二者相結合得到三角形相似，進而即可得到O、C、P、D四點共圓．

解答：解：證明：因為PA，PB為圓O的兩條切線，所以OP垂直平分弦AB，
在Rt△OAP中，OM•MP=AM²，
在圓O中，AM•BM=CM•DM，
所以，OM•MP=CM•DM，
∵∠OMC=∠DMP
⇒△OCM∽△DMP⇒∠DPM=∠OCM．由于圓中同弦所對的圓心角相等，
所以O，C，P，D四點共圓．

點評：本題主要考查與圓有關的比例線段、相交弦定理的應用及切線性質的應用．是對基礎知識的考查．