Question

附加題 選做題在A、B、C、D四小題中只能選做兩小題，每小題10分，共計20分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選做題（幾何證明選講）
如圖，從圓O外一點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，AB與OP交于點M，設CD為過點M且不過圓心O的一條弦，
求證：O、C、P、D四點共圓．

Answer 1

分析：先根據PA，PB為圓O的兩條切線，得到OP垂直平分弦AB，進而得到OM•MP=AM²；再結合相交弦定理即可得到AM•BM=CM•DM，二者相結合得到三角形相似，進而即可得到O、C、P、D四點共圓．

解答：證明：因為PA，PB為圓O的兩條切線，所以OP垂直平分弦AB，
在Rt△OAP中，OM•MP=AM²，…4分
在圓O中，AM•BM=CM•DM，
所以，OM•MP=CM•DM，…8分
∵∠OMC=∠DMP
⇒△OCM∽△DMP⇒∠DPM=∠OCM．
所以O，C，P，D四點共圓．                …10分

點評：本題主要考查與圓有關的比例線段、相交弦定理的應用及切線性質的應用．是對基礎知識的考查．本題證明四點共圓用到了課本習題的結論：如果兩個三角形有公共邊，公共邊所對的角相等且在公共邊的同一側，那么這兩個三角形的四個頂點共圓．