Question

（2013•房山區(qū)一模）如圖，從圓O外一點(diǎn)P引圓O的切線PA和割線PBC，已知∠BPA=30°，BC=11，PB=1，則PA=

2

3

，圓O的半徑等于

7

．

Answer 1

分析：利用切割線定理可得PA，再利用余弦定理可得AB，AC．利用正弦定理可得△ABC外接圓的半徑．

解答：解：∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴PA²=PB•PC=1（1+11）=12，∴PA=2

3

．
連接AB，AC，在△PAB中，由余弦定理可得AB²=PA²+PB²-2PA•PBcos30°=(2

3

)2+12-2×2

3

×1×cos30°=7．
∴AB=

7

．
在△PAC中，由余弦定理可得AC²=PA²+PC²-2PA•PCcos30°=(2

3

)2+(12)2-2×2

3

×12×cos30°=84．
在△ABC 中，由余弦定理可得cos∠ABC=

7+112-84

22 7

=

2 7

7

．
∴sin∠ABC=

1-( 2 7 7 )2

=

21

7

．
設(shè)⊙O的半徑為R，則2R=

AC

sin∠ABC

=

2 21

21 7

=14，解得R=7．
故答案分別為2

3

，7．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握切割線定理、余弦定理、正弦定理是解題的關(guān)鍵．