Question

1．已知$tanα=\frac{1}{7}，sinβ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$分別在下列條件下求α+2β的值：
（1）$α∈（{0，\frac{π}{2}}），β∈（{0，\frac{π}{2}}）$
（2）$α∈（{-π，0}），β∈（{0，\frac{π}{2}}）$．

Answer 1

分析 由條件求得α、β的范圍，可得α+2β的范圍，再求得tanβ、tan2β、tan（α+2β）的值，從而求得α+2β的值．

解答 解：（1）∵$α∈（{0，\frac{π}{2}}），β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且$tanα=\frac{1}{7}，sinβ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，∴α∈（ 0，$\frac{π}{4}$）、β∈（0，$\frac{π}{6}$），
∴α+2β∈（0，$\frac{7π}{12}$），且cosβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∴tanβ=$\frac{1}{3}$，tan（2β）=$\frac{2tanβ}{1{-tan}^{2}β}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan（α+2β）=$\frac{tanα+tan2β}{1-tanα•tan2β}$=$\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}•\frac{3}{4}}$=1，∴α+2β=$\frac{π}{4}$．
（2）∵$α∈（{-π，0}），β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且$tanα=\frac{1}{7}，sinβ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，∴α∈（-π，-$\frac{5π}{6}$）、β∈（0，$\frac{π}{6}$），
∴α+2β∈（-π，-$\frac{π}{2}$），且cosβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∴tanβ=$\frac{1}{3}$，tan（2β）=$\frac{2tanβ}{1{-tan}^{2}β}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan（α+2β）=$\frac{tanα+tan2β}{1-tanα•tan2β}$=$\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}•\frac{3}{4}}$=1，∴α+2β=-$\frac{3π}{4}$．

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系，誘導公式，兩角和差的三角公式，以及三角函數在各個象限中的符號，屬于基礎題．