Question

11．已知數列{a_n}的通項為a_n=$\left\{{\begin{array}{l}{n+\frac{15}{n}，n≤5}\\{alnn-\frac{1}{4}，n＞5}\end{array}}$，若{a_n}的最小值為$\frac{31}{4}$，則實數a的取值范圍是[$\frac{8}{ln6}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用基本不等式可知a_n≥a₄=$\frac{31}{4}$（n≤5），進而問題轉化為當n＞5時a≥$\frac{8}{lnn}$恒成立，計算即得結論．

解答 解：由題可知當n≤5時結合函數y=x+$\frac{15}{x}$（x＞0），可知a_n≥a₄=4+$\frac{15}{4}$=$\frac{31}{4}$，
又因為{a_n}的最小值為$\frac{31}{4}$，
所以當n＞5時y=alnn-$\frac{1}{4}$≥$\frac{31}{4}$，即alnn≥8，
又因為lnn＞ln5＞0，
所以當n＞5時a≥$\frac{8}{lnn}$恒成立，
所以$a≥\frac{8}{ln6}$，
故答案為：[$\frac{8}{ln6}$，+∞）．

點評 本題考查數列的遞推式，考查函數的單調性，考查分離參數，考查基本不等式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．