Question

【題目】已知方向向量為v=（1， ）的直線l過點（0，﹣2 ）和橢圓C： =1（a＞b＞0）的焦點，且橢圓C的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點E（﹣2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足 = ．cot∠MON≠0（O為原點）．若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）解法一：直線l：y= x﹣2 ，①
過原點垂直l的直線方程為y=﹣ x，②
解①②得x= ．
∵橢圓中心（0，0）關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上，∴ =2× =3．
∵直線l過橢圓焦點，∴該焦點坐標為（2，0）．∴c=2，a2=6，b2=2．故橢圓C的方程為 + =1③
解法二：直線l：y= x﹣3 ．
設原點關于直線l對稱點為（p，q），則 解得p=3．
∵橢圓中心（0，0）關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上，∴ =3．
∵直線l過橢圓焦點，∴該焦點坐標為（2，0）．∴c=2，a2=6，b2=2．故橢圓C的方程為 + =1③
（II）解：設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．
當直線m不垂直x軸時，直線m：y=k（x+2）代入③，
整理得（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
|MN|= = = ，
點O到直線MN的距離d= ．
∵ = cot∠MON，即| || |cos∠MON= ≠0，
∴| || |sin∠MON=4 ，∴S△OMN= ．∴|MN|d= ，
即4 |k| = （3k2+1），
整理得k2= ，∴k=± ．
當直線m垂直x軸時，也滿足S△OMN= ．
故直線m的方程為y= x+ ，或y=﹣ x﹣ ，或x=﹣2．
經檢驗上述直線均滿足 ≠0．
所以所求直線方程為y= x+ ，或y=﹣ x﹣ ，或x=﹣2．


【解析】（I）解法一：直線l：y= x﹣2 ，過原點垂直l的直線方程為y=﹣ x，這兩個方程聯(lián)立可知x= ．再由橢圓中心（0，0）關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上，可知 =3．由此可以求出橢圓C的方程．
解法二：直線l：y= x﹣3 ．設原點關于直線l對稱點為（p，q），則 解得p=3．由橢圓中心（0，0）關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上，知 =3．由此能夠推出橢圓C的方程．（II）解：設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．當直線m不垂直x軸時，直線m：y=k（x+2）代入 + =1，整理得（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6=0，再由根與系數(shù)的關系和點到直線 的距離求解．