Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=2，AC₁與底面成60°角，E、F分別為AA₁、AB的中點．
（1）求異面直線EF與AC₁所成角的大小；
（2）求EF與平面ACC₁A₁所成角的大小．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專題：計算題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由AC₁與底面成60°角，求出側棱長，取A₁C₁的中點G，連接EG，FG，則EG∥AC₁，則∠FEG或補角即為異面直線EF與AC₁所成角．分別求出三角形FEG的三邊，再由余弦定理，即可得到；
（2）在三角形ABC內，過F作FH⊥AC，由于平面ABC⊥平面ACC₁A₁，則FH⊥平面ACC₁A₁，即有∠FEH即為EF與平面ACC₁A₁所成角．通過解直角三角形EFH，即可得到．

解答： 解：（1）由于CC₁⊥平面ABC，則∠C₁AC=60°，
AC=2，則C₁C=ACtan60°=2

3

，
取A₁C₁的中點G，連接EG，FG，則EG∥AC₁，
則∠FEG或補角即為異面直線EF與AC₁所成角．
易得EF=

3+1

=2，EG=2，
再取AC的中點M，連接MG，MF，則FG=

(2 3 )2+1

=

13

，
則cos∠FEG=

4+4-13

2×2×2

=-

5

8

，
則有異面直線EF與AC₁所成角為arccos

5

8

；
（2）在三角形ABC內，過F作FH⊥AC，
由于平面ABC⊥平面ACC₁A₁，
則FH⊥平面ACC₁A₁，
即有∠FEH即為EF與平面ACC₁A₁所成角．
在直角三角形AFH中，FH=AFsin60°=

3

2

，
又EF=2，則sin∠FEH=

FH

EF

=

3

4

，
則EF與平面ACC₁A₁所成角的大小為arcsin

3

4

．

點評：本題主要考查空間異面直線所成的角和直線與平面所成的角，考查空間的直線與平面的位置關系，考查運算和推理能力，屬于中檔題．