Question

設函數f（x）=

ex-1

x

．
（1）求函數f（x）在[

1

2

，2]上的最值；
（2）證明：對任意正數a，存在正數x，使不等式f（x）-1＜a成立．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）f′（x）=

(x-1)ex+1

x2

，令h（x）=（x-1）e^x+1，則h′（x）=x•e^x，從而由導數的正負確定函數的單調性，從而求最值；
（2）化簡不等式f（x）-1＜a為e^x-（a+1）x-1＜0，求導討論函數的單調性，從而求函數的最小值，證明最小值小于0即可．

解答： 解：（1）f′（x）=

(x-1)ex+1

x2

，
令h（x）=（x-1）e^x+1，則h′（x）=x•e^x，
故h（x）=（x-1）e^x+1在（0，+∞）上是增函數，
又∵h（0）=0，
故f（x）=

ex-1

x

在（0，+∞）上是增函數，
則函數f（x）在[

1

2

，2]上的最小值為f（

1

2

）=2

e

-2，
最大值為f（2）=

1

2

e²-

1

2

；
（2）證明：f（x）-1=

ex-x-1

x

，
不等式f（x）-1＜a可化為e^x-（a+1）x-1＜0，
令g（x）=e^x-（a+1）x-1，則g′（x）=e^x-（a+1），
令e^x-（a+1）=0解得，x=ln（a+1），
故當0＜x＜ln（a+1）時，g′（x）＜0，
當x＞ln（a+1）時，g′（x）＞0，
則當x=ln（a+1）時，g_min（x）=a-（a+1）ln（a+1），
令m（a）=

a

a+1

-ln（a+1），（a≥0），
則m′（a）=-

a

(a+1)2

＜0，
則當a＞0時，m（a）＜m（0）=0；
故g_min（x）=a-（a+1）ln（a+1）＜0，
故存在正數x，使不等式f（x）-1＜a成立．

點評：本題考查了導數的綜合應用，屬于中檔題．