Question

若點O和點F（2，0）分別是雙曲線x²-

y2

a2

=1（a＞0）的中心和右焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則

OP

•

FP

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意可求得a²=3，從而化出雙曲線方程為x²-

y2

3

=1，設點P（

1+ y2 3

，y），從而表達出

OP

•

FP

=（

1+ y2 3

，y）•（

1+ y2 3

-2，y）=1+

y2

3

-2

1+ y2 3

+y²，利用換元法求值域．

解答： 解：由題意，1+a²=4，
解得a²=3，
則雙曲線方程為x²-

y2

3

=1，
∵點P為雙曲線右支上的任意一點，
∴設點P（

1+ y2 3

，y），
則

OP

•

FP

=（

1+ y2 3

，y）•（

1+ y2 3

-2，y）
=1+

y2

3

-2

1+ y2 3

+y²
令

1+ y2 3

=t，t≥1；y²=3t²-3；
故

OP

•

FP

=4t²-2t-3，
其在[1，+∞）上單調遞增，
故

OP

•

FP

≥4-2-3=-1．
故答案為：-1．

點評：本題考查了雙曲線的定義及換元法求函數的值域，屬于難題．